Question

已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心1为半径的圆上的任意一点，则

PA

•

PB

的取值范围是（　　）

• A、[-

  3

  2

  ，

  5

  2

  ]
• B、[-

  5

  2

  ，

  5

  2

  ]
• C、[-3，5]
• D、[1-2

  3

  ，1+2

  3

  ]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：换元法,平面向量及应用

分析：以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设∠BAC=α，则A（4cosα，0），B（0，4sinα），P（cosθ，sinθ），再代入计算即可．

解答：解：以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设∠BAC=α，
则A（4cosα，0），B（0，4sinα），P（cosθ，sinθ），
∴

PA

=(cosθ-4cosα，sinθ)，

PB

=(cosθ，sinθ-4sinα)，
∴

PA

•

PB

=cosθ（cosθ-4cosα）+sinθ（sinθ-4sinα）=1-4cos（θ-α）∈[-3，5]，
∴

PA

•

PB

）∈[-3，5]．
故选：C．

点评：本题的关键在于设出∠BAC=α，然后用三角代换表示各点的坐标，这样使得问题容易表达并易于求解．