Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为： ，直线的参数方程是（为参数， ）．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．

Answer 1

【答案】（I） ;（II）.

【解析】试题分析：（I）由极坐标与直角坐标互化的关系式 可将曲线极坐标方程化为普通方程.（II）将直线的参数方程代入取曲线的普通方程中， 为中点，由的几何意义知故得到关于的方程，求出倾斜角.

试题解析：

（I）曲线,即,

于是有,

化为直角坐标方程为:

（II）方法1:

即

由的中点为得,有,所以

由 得

方法2:设,则

,

∵,∴,由 得.

方法3: 设,则由是的中点得

,

∵,∴,知

∴,由 得.

方法4:依题意设直线,与联立得,

即

由得 ,因为 ,所以.