Question

设函数的定义域是,其中常数.
(1)若,求的过原点的切线方程.
(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.
(3)证明当时,对任何,有.

Answer 1

(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.

试题分析：(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.
试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;
若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.
又,故切线方程为.
综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.
(2)令,则,,显然有,且的导函数为：
.
若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.
若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.
综上所述,所求的最大值是.
（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：
，
在此不等式中依次取，得：
，，
，
，
，
…………………………
，
将以上不等式相加得：，即.