Question

6．设函数f（x）=$\frac{x+m}{x+1}$，且存在函数s=φ（t）=at+b（t＞$\frac{1}{2}$，a≠0），满足f（$\frac{2t-1}{t}$）=$\frac{2s+1}{s}$．
（1）求m的值；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=cs+d（s＞0），满足f（$\frac{2s+1}{s}$）=$\frac{2t-1}{t}$．

Answer 1

分析 （1）求出此值，能得到m+2=2a，a=3由此能求出m．
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{m+2=2c}\\{1=2d-1}\end{array}\right.$，其中m=4，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵$\frac{\frac{2t-1}{t}+m}{\frac{2t-1}{t}+1}$-$\frac{2t-1+mt}{2t-1+t}$=$\frac{（m+2）t-1}{3t-1}$，
$\frac{2S+1}{S}$=$\frac{2（a+b）+1}{at+b}$=$\frac{2at+2b+1}{at+b}$，
∴m+2=2a，a=3，∴m=4．
（2）∵f（$\frac{2S+1}{S}$）=$\frac{\frac{2S+1}{S}+m}{\frac{2S+1}{S}+1}$=$\frac{（m+2）S+1}{3S+1}$，
$\frac{2t-1}{t}=\frac{2（cS+d）-1}{cs+d}$=$\frac{2cs+2d-1}{cs+d}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2=2c}\\{1=2d-1}\end{array}\right.$，其中m=4，
∴c=3．d=1，
∴存在函数t=3S+1满足条件．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．