Question

11．设函数f（x）=ax²+1，若${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=f（x₀），x₀∈[0，1]，则x₀的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用定积分得到关于x₀的方程，根据范围解之．

解答 解：函数f（x）=ax²+1，若${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=f（x₀），则$（\frac{a}{3}{x}^{3}+x）{|}_{0}^{1}=a{{x}_{0}}^{2}+1$，即${{x}_{0}}^{2}=\frac{1}{3}$，x₀∈[0，1]，所以${x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了定积分的计算；熟记微积分基本定理是关键．