Question

7．已知函数f（x）=x³+sinx，x∈（-1，1）．如果f（1-a）+f（1-a²）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． $（1，\sqrt{2}）$
• B． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• D． $（0，\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可．

解答 解：∵f（x）=sinx+x³，
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，
函数的导数f′（x）=cosx+3x²＞0，
则函数f（x）在x∈（-1，1）上为增函数，
则不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0，
等价为f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1），
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1{＜a}^{2}-1＜1}\\{1-a{＜a}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得：1＜a＜$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．