Question

【题目】已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．

(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函数，

y＝－是增函数，∴f(x)是增函数．

∵f(x)的定义域为R，

且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，

由f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对x∈R恒成立，

则f(x－t)≥f(t2－x2)．

∴t2－x2≤x－tx2＋x≥t2＋t对x∈R恒成立≤min对一切x∈R恒成立≤0t＝－.

即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．