Question

12．定义区域[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁（x₂＞x₁），函数$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a∈R，a≠0）$的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． -3
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 将函数f（x）化简，首先考虑f（x）的单调性，由题意可得f（m）=n，f（n）=m．，故m，n是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出m，n的关系．在求最大值

解答 解：解：函数$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a∈R，a≠0）$的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
化简得f（x）=$\frac{{a}^{2}x+ax-1}{{a}^{2}x}=\frac{1+a}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$在区间[m，n]上是单调递增，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（n）=m}\\{f（m）=n}\end{array}\right.$，
故m，n是方程f（x）=$\frac{1+a}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）²-（a²+a）x+1=0同号相异的实数根．
那么mn=$\frac{1}{{a}^{2}}$，m+n=$\frac{1+a}{a}$，
只需要△＞0，即（a²+a）²-4a²＞0，
解得：a＞1或a＜-3．
那么：n-m=$\sqrt{（n+m）^{2}-4mn}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
故n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时解得：a=3．
故选：D．

点评 本题考查了函数性质的方程的运用，有一点综合性，利用函数关系，构造新的函数解题．属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．