Question

20．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，若实数a满足f（log_a3）+f（${log_a}\frac{1}{3}$）≤1，则实数a的取值范围为a≥3，或0＜a≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意利用函数的奇偶性、单调性可得2f（log_a3）≤1，即f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），故有|log_a3|≤1，由此求得a的范围

解答 解：偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，且f（1）=$\frac{1}{2}$，
则函数f（x）在区间（-∞，0]上为减函数，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，
若实数a满足f（log_a3）+f（${log_a}\frac{1}{3}$）=f（log_a3）+f（-log_a3）=2f（log_a3）≤1，
∴f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），
∴|log_a3|≤1，
解得a≥3，或0＜a＜$\frac{1}{3}$，
故答案为：a≥3，或0＜a≤$\frac{1}{3}$

点评 本题主要考查抽象函数及其应用，函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题．