Question

【题目】某温泉度假村拟以泉眼为圆心建造一个半径为米的圆形温泉池，如图所示，、是圆上关于直径对称的两点，以为圆心，为半径的圆与圆的弦、分别交于点、，其中四边形为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设．

（1）当时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；

（2）当池内休息区的总面积最大时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）计算出、的长，利用三角形的面积公式可求得III和IV两个部分面积的和；

（2）将、用含的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积关于的函数表达式，令，利用导数求出的最大值，并求出对应的的值，由此可求得的长.

（1）在中，因为，，所以，，

所以池内休息区总面积；

（2）在中，因为，，

所以，，

，由，得，

则池内休息区总面积，；

设，，

因为，

又，所以，使得，

则当时，在上单调增，

当时，在上单调递减，

即是极大值，也是最大值，所以，此时．