题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，
，若棱
，
，
两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量
与
夹角的余弦值为
.
（1）求
的长度；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）2；（2）
【解析】
（1）如下图建立空间直角坐标系，由
，可设
，则
，向量求出
和
的坐标，利用与夹角的余弦值为
，结合空间向量法求异面直线的夹角运算公式，求出
，即可求出
；
（2）先求出平面
的一个法向量，再通过空间向量法求线面角公式，即可求出直线
与平面所成角的正弦值.
解：棱
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系如图：
则
，
，
，
∵，可设，∴
（1）
，
，
则
，
解得：
，∴
，
（2）易得
，
，
设平面的一个法向量
，则
，令
，则
，
∴平面的一个法向量
，
又
，设直线与平面所成角为
，
，
则
，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
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