Question

9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，化为ρ²+（ρsinθ）²=12，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得：t²-3t-9=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，
化为ρ²+（ρsinθ）²=12，可得3x²+4y²=12，
化为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），代入曲线C的方程可得：t²-3t-9=0，
∴t₁+t₂=3，t₁t₂=-9．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+36}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．