Question

20．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α≤π）
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ-$\frac{1}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可化为直角坐标方程．曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α≤π），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程．
（2）设P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{6}cos（α+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}|}{2}$，当且仅当$cos（α+\frac{π}{4}）$=-1，即α=$\frac{3π}{4}$时取得最大值．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化为$\sqrt{3}$x-y=$\sqrt{3}$．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α≤π），可得普通方程：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.$（0≤y≤\sqrt{3}）$．
（2）设P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-\sqrt{3}sinα-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\sqrt{6}cos（α+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}|}{2}$≤$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$cos（α+\frac{π}{4}）$=-1，即α=$\frac{3π}{4}$时取等号．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与椭圆相切的充要条件、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．