Question

15．已知函数f（x）=ax³-3x²+4，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，则实数a的取值范围为a＜-1．

Answer 1

分析 函数的零点就是对应方程的根，先判断当a=0时对应方程根的个数，再讨论当a不等于0时的根的情况，此时只需利用导数研究该函数的极值，利用极值的符号解决问题．

解答 解：原函数的零点即为ax³-3x²+4=0的根．
当a=0时，原方程化为3x²-4=0，解得$x=±\frac{2}{\sqrt{3}}$，不符合题意，故a≠0；
当a≠0时，f′（x）=3ax²-6x，令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{2}{a}$．
①若a＞0，则x=0是极大值点，x=$\frac{2}{a}$是极小值点，此时若函数只有一个正的零点，则必有f（0）=4＜0，显然不成立；
②若a＜0，则x=0是极大值点，此时若函数只有一个正的零点，只需f（0）=4＞0，且$f（\frac{2}{a}）=a•\frac{8}{{a}^{3}}-3•\frac{4}{{a}^{2}}+4＞0$，
解得a＜-1．
综上可知，a＜-1即为所求．
故答案为a＜-1．

点评 函数的零点即为对应方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标，依此可以将问题适当的进行转化，即此问题最终转化为函数图象与x轴交点的横坐标，通过研究单调性、极值的符号解决问题．