Question

10．数列{a_n}的前n项和为S_n，且${a_1}=1，{S_{n+1}}=3{S_n}+n+1，n∈{N^*}$．
（Ⅰ）求证：数列$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是等比数列；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，设数列{b_n}的前n项和T_n，n∈N^*，证明：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n+1=3S_n+n+1与S_n=3S_n-1+n（n≥2）作差，进而计算可知a_n+1=3a_n+1（n≥2），变形可知a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），进而可知数列{a_n+$\frac{1}{2}$}是等比数列；
（Ⅱ）通过a₁=1及（I）可知${b_n}=\frac{n}{{\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}-\frac{{{3^n}-1}}{2}}}=\frac{n}{3^n}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+n+1，①
∴S_n=3S_n-1+n（n≥2），②
①-②得：a_n+1=3a_n+1（n≥2），
变形得：a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），即$\frac{{{a_{n+1}}+\frac{1}{2}}}{{{a_n}+\frac{1}{2}}}=3（n≥2）$，
又∵$\frac{{{a_2}+\frac{1}{2}}}{{{a_1}+\frac{1}{2}}}=3$满足上式，
∴数列{a_n+$\frac{1}{2}$}是等比数列；
（Ⅱ）由a₁=1，得a_n=$\frac{{{3^n}-1}}{2}$，n∈N^*，
则${b_n}=\frac{n}{{\frac{{{3^{n+1}}-1}}{2}-\frac{{{3^n}-1}}{2}}}=\frac{n}{3^n}$，
又∵${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+…+\frac{n}{3^n}$，①
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{3+2n}{{4•{3^n}}}$，即${T_n}＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．