Question

3．已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A，B，又O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a＞2，b＞2．
（1）求a，b满足的条件；
（2）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得直线l：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，再由由d=r，能求出a，b满足的条件．
（2）由a，b满足的条件得到ab+2=2（a+b）$≥2•2\sqrt{ab}$，由此能求出△AOB的面积最小值．

解答 解：（1）∵与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A，B，
又O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a＞2，b＞2，
∴直线l：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，
由d=r，知$\frac{|b+a-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=1$，
整理得a，b满足的条件为：2-2a-2b+ab=0． （6分）
（2）∵2-2a-2b+ab=0，
∴ab+2=2（a+b）$≥2•2\sqrt{ab}$，
解得$\sqrt{ab}≤2-\sqrt{2}$或$\sqrt{ab}$≥2+$\sqrt{2}$，
又a＞2，b＞2，∴ab≥6+4$\sqrt{2}$，∴${S}_{△AOB}≥\frac{1}{2}ab=3+2\sqrt{2}$，
∴△AOB的面积最小值为3+2$\sqrt{2}$，此时a=b=2+$\sqrt{2}$．（12分）

点评 本题考查a，b满足的条件和△AOB面积的最小值的求法，是中档题，解题时要注意直线方程、圆的性质、点到直线的距离、均值定理等知识点的合理运用．