题目内容
13．求证：函数f（x）=$\frac{2x}{1-x}$在区间（-∞，1）上的单调增函数．分析 先分离常数得到f（x）=$-2+\frac{2}{1-x}$，根据单调性的定义，设任意的x1＜x2＜1，然后作差，通分，根据x1＜x2＜1便可证明f（x1）＜f（x2），从而证出f（x）在（-∞，1）上单调递增．
解答 证明：$f（x）=\frac{-2（1-x）+2}{1-x}=-2+\frac{2}{1-x}$，设x1＜x2＜1，则：
f（x1）-f（x2）=$\frac{2}{{1-x}_{1}}-\frac{2}{1-{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$；
∵x1＜x2＜1；
∴x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0；
∴$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}＜0$；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）是在区间（-∞，1）上单调增函数．
点评 考查分离常数法的运用，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差法比较f（x1）与f（x2），作差后，是分式的一般需通分．
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