Question

15．如图，要在山坡上A、B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A、B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为48m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为16$\sqrt{3}$m．

Answer 1

分析 过A作AE⊥CD交CD延长线于E，由已知得到∠CBA=15°，由∠CAE=60°，∠DAE=30°，得到∠CAD=30°于是有∠CBA=∠ACB=15°所以AB=AC=48，解Rt△BCE，可求得CE，解Rt△DBE可求得DE，CE-DE即得到高CD．

解答 解：如图，过A作AE⊥CD交CD延长线于E，
∵由A、B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为48m，斜坡与水平面成30°角，
∴∠CBA=15°，
∵∠CAE=60°，∠DAE=30°，
∴∠CAD=30°，
∵∠CAD=∠CBA+∠ACB，
∴∠CBA=∠ACB=15°，
∴AB=AC=48，
在Rt△ACE中，∠CAE=60°，AC=48，
∴CE=ACsin∠CAE=48×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=24$\sqrt{3}$，
AE=ACcos∠CAE=48×0.5=24，
在Rt△DAE中，∠DAE=30°，AE=24，
∴DE=AEtan∠DAE=24×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴CD=CE-DE=24$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．
故答案为：16$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．