Question

如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2，记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=-

7

25

．
（1）求cos∠CAD；
（2）求BC边上的高h的值．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cosα的值，利用外角性质表示出∠CAD，利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；
（2）由cos∠CAD的值求出sin∠CAD的值，再由sinC以及CD的长，利用正弦定理求出AD的长，再利用锐角三角函数定义求出h的值即可．

解答： 解（1）∵cos2α=2cos²α-1=-

7

25

，
∴cos²α=

9

25

，
∵α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
∵∠CAD=α-45°，
∴cos∠CAD=cos（α-45°）=

2

2

（cosα+sinα）=

7 2

10

；
（2）由（1）得，sin∠CAD=

1-cos2∠CAD

=

2

10

，
在△ACD中，由正弦定理得：

CD

sin∠CAD

=

AD

sinC

，即AD=

CDsinC

sin∠CAD

=

1× 2 2

2 10

=5，
则高h=ADsin∠ADB=4．

点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．