Question

已知函数f(x)=

3

sin(π-ωx)-sin(

π

2

-ωx)(ω＞0)的图象两相邻最高点的坐标分别为(

π

3

，2)，(

4

3

π，2)．
（1）求函数解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求

b-2c

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）解析式利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，根据题意得出函数的周长，利用周期公式求出ω的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）由f（A）=2，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，所求式子利用正弦定理化简，整理后得到最简结果，根据B的范围求出cosB的值域，即可确定出所求式子的范围．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
∵周期T=

4π

3

-

π

3

=π=

2π

ω

，∴w=2，
则f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
由正弦定理得：

b-2c

a

=

sinB-2sinC

sinA

=

2

3

[sinB-2sin（

2π

3

-B）]=-2cosB，
∵0＜B＜

2π

3

，∴-

1

2

＜cosB＜1，
则-2＜

b-2c

a

＜1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦函数的定义域与值域，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．