题目内容
20．设F1、F2为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1的两个焦点，P为椭圆上的一点．当△F1PF2的面积为1，$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$的值为0．分析 作图，从而可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，不妨设P（x，y）（x＞0，y＞0）；从而可得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；从而求数量积即可．
解答 
解：作图如右图，
由题意得，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
不妨设P（x，y）（x＞0，y＞0）；
△F1PF2的面积S=$\frac{1}{2}$•|F1F2|•y=1，
即$\sqrt{3}$y=1，
故y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1解得，
x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）（$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
=$\frac{8}{3}$-3+$\frac{1}{3}$=0，
故答案为：0．
点评 本题考查了椭圆的简单性质的判断与应用，同时考查了平面向量的应用．
练习册系列答案
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10．下列不等式在给定区间上不恒成立的是（ ）
| A． | （x+1）cosx＜1，x∈（0，π） | B． | e${\;}^{{x}^{2}}$＞1+x2，x∈（0，+∞） | ||
| C． | sinx+tanx＞2x，x∈（0，$\frac{π}{2}$） | D． | lnx+ex＞x$-\frac{1}{x}$+2，x∈（0，+∞） |
如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E是PC上不重合的两点，F，H分别是PA，PB上的点，且与点P不重合，判断EF和DH的位置关系，并说明理由．