Question

4．已知点O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的投影，若PA=PB=PC，则O为△ABC的外心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的垂心；若P到三边AB，BC，CA的距离都想等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的内心．

Answer 1

分析 PA=PB=PC时，得出OA=OB=OC，O为三角形的外心；
PA⊥BC，PB⊥AC时，得出AO⊥BC，BO⊥AC，O为△ABC的垂心；
P到三边AB，BC，CA的距离都相等，且点O在△ABC的内部时，得出点O到三角形三边的距离相等，是内心．

解答 解：点O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的投影，
当PA=PB=PC时，如图1所示：

连接OA，OB，OC，
∵PA=PB=PC，
∵PO⊥底面ABC，
PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
所以O为三角形的外心．
O为△ABC的外心；
同理，当PA⊥BC，PB⊥AC时，AO⊥BC，BO⊥AC，
所以O为△ABC的垂心；
当P到三边AB，BC，CA的距离都相等，且点O在△ABC的内部时，
得出点O到三角形三边的距离相等，
所以点O为△ABC的内心．
故答案为：外、垂、内．

点评 本题考查了三棱锥的顶点在底面三角形内的射影与三角形的四心（内心、外心、垂心和重心）问题，是基础题目．