Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2若函数有两个零点分别记为．

①求的取值范围；

②求证：．

Answer 1

【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶见证明

【解析】

（1），可分四种情况讨论的符号后可得的单调性．

（2）①结合（1）中函数的单调性讨论，当时，无两个零点，当时，利用零点存在定理可得有两个不同的零点，当时，利用时恒成立得到在上没有零点，当时，结合函数的单调性及可得在上不可能有两个零点．

②结合函数的导数可知原不等式的证明可归结为，构建新函数，利用导数可证在上为单调增函数，设，利用及可得．

（1），

（i）当时，，

时，单调递减；

时，单调递增．

（ii）当时，

时，单调递增；

时，单调递减；

时，单调递增．

（iii）当时，恒成立，在上单增．

（iv）当时，

时，单调递增；

时，单调递减，

时，单调递增．

综上所述：时，在上单调递减，上单调递增；

时，在上单调递减，在上单调递增；

时，在上单调递增；

时，在上单调递减，上单调递增.

（2）①，

（i）当时，，只有一个零点，舍去；

（ii）当时，在上单调递减，上单调递增，

又，取且，

则

，

存在两个零点．

（iii）当时，在上单调递增，时，

不可能有两个零点，舍去．

（iv）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，舍去．

（v）当时，时，，又在单调递减，在上单调递增，因，不可能有两个零点，舍去．

综上所述：．

②由①知：，在上单调递减，在上单调递增，

要证， 即证，即证，

令，则

当时，单调递增．

不妨设，则，即，

又 ，，

在上单调递减， ， ，原命题得证．