Question

【题目】如图（1），在矩形中，，在边上，．沿，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图（2）．

（1）试判断图（2）中直线与的位置关系，并说明理由；

（2）求平面和平面所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）∥．见解析（2）．

【解析】

（1）分别取，的中点，，连结，，，，可证得与都与平面垂直，从而得它们平行且相等，得平行四边形，得，在图（1）中可证得，从而得结论；

（2）在边上取一点，使得，可证得，，两两垂直．以点为坐标原点，直线，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．

解：（1）．理由如下：

连结，分别取，的中点，，连结，，，由图（1）

可得，与都是等腰直角三角形且全等，则，，，如图．

∵平面平面，交线为，平面，，∴平面．

同理得，平面，∴．

又∵∴四边形为平行四边形，∴．

∵，分别是，的中点∴

∴．

（2）在边上取一点，使得．

由图（1）可得，为正方形，即．

∵为的中点∴．

由（1）知，平面，∴，，两两垂直．

以点为坐标原点，直线，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图．

设，则，，，，

∴，．

设平面的一个法向量为．

由得．

令，则，，∴．

由平面是坐标平面可得：平面一个法向量为．

设平面与平面所成的锐角二面角为，则

，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．