Question

如图，三棱柱中,, ,平面平面,与相交于点.

（1）求证：平面;

（2）设点是直线上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.

Answer 1

(1)答案见解析；（2）平面与平面夹角的余弦值是

【解析】

试题分析：（1）已知平面平面，若证明线面垂直，需应用面面垂直的性质定理，只需要证明平面经过平面的垂线，即证：平面因为底面为菱形，所以为的中点，在中，为的中点，所以垂直平面进而得证；（2）过点的直线平行平面，过点的平面垂直平面，显然取中点，显然点为的中点，由（1）建立空间直角坐标系，进而分别得到两个平面的法向量，利用公式求得面面角的夹角的余弦值.

试题解析：（1）由已知得侧面是菱形,是的中点，

2分

平面平面，且，平面平面=AC1

平面. 4分

（2）设点是的中点，因为点是的中点，所以平面，

又因为面，所以平面平面，又平面平面，

平面平面，所以，所以点是的中点。 6分

如图，以为原点,以所在直线分别为轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得 所以

7分

设平面的一个法向量是由得，

又

由

令，所以 9分

平面平面 ，，所以平面∴是平面的一个法向量是， 10分

平面与平面夹角的余弦值是 12分

考点：1.面面垂直的性质定理；2.线面平行的判定定理；3.向量法求二面角.