Question

14．已知直线l过点P（2，0），斜率为$\frac{4}{3}$，直线l和抛物线y²=2x相交于A、B两点，线段AB的中点为M．求：
（1）写出直线l的一个参数方程；
（2）线段PM的长|PM|；
（3）线段AB的长|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出直线倾斜角的正余弦，代入直线的标准参数方程即可；
（2）把直线的参数方程代入曲线方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义得出|PM|；
（3）利用参数的几何意义求出|AB|．

解答 解：（1）设直线l的倾斜角为α，则tanα=$\frac{4}{3}$，∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
又直线l过点P（2，0），
∴直线l的标准参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（2）把直线l的参数方程代入y²=2x得：8t²-15t-50=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁t₂=-$\frac{25}{4}$．
∵M为AB的中点，
∴|PM|=$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$=$\frac{15}{16}$．
（3）|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{225}{64}+25}$=$\frac{5\sqrt{73}}{8}$．

点评 本题考查了直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题．