Question

19．关于f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）有以下命题，
①若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）；
②f（x）图象与g（x）=3cos（2x-$\frac{π}{4}$）图象相同；
③f（x）在区间[-$\frac{7π}{8}$，-$\frac{3π}{8}$]是减函数；
④f（x）图象关于点（-$\frac{π}{8}$，0）对称．
其中正确的命题序号是（　　）

• A． ②③④
• B． ①④
• C． ①②③
• D． ②③

Answer 1

分析 ①根据三角函数的周期以及三角函数的零点定义进行求解判断，
②根据三角函数的图象关系进行判断，
③根据函数单调性的性质进行求解，
④根据三角函数的对称性的性质进行判断．

解答 解：①∵f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）的周期为$T=\frac{2π}{2}$=π，∴f（x₁）=f（x₂）=0时，x₁-x₂是$\frac{π}{2}$的整数倍，故①错误，
②函数解析式$y=3sin（2x+\frac{π}{4}）=3cos（2x+\frac{π}{4}-\frac{π}{2}）$，即$y=3cos（2x-\frac{π}{4}）$，故②正确，
③由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
当k=-1时，-$\frac{7π}{8}$≤x≤-$\frac{3π}{8}$，即函数的一个单调递减区间是[-$\frac{7π}{8}$，-$\frac{3π}{8}$]，故③正确，
④当$x=-\frac{π}{8}$时，$y=3sin（-\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）$=0，∴函数图象关于点$（-\frac{π}{8}，0）$对称，故④正确，
故正确是②③④，
故选：A．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，根据三角函数的周期性，单调性以及对称性的性质是解决本题的关键．