Question

14．已知椭圆的中心在原点，焦点为${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，且长轴长为8．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线y=x+2与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的简单性质和标准方程求得a、b的值，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）利用弦长公式求得弦长|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，焦点为${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，
且长轴长为8，∴c=2$\sqrt{3}$，a=4，∴b²=a²-c²=4，
故要求的椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）把直线y=x+2代入椭圆的方程化简可得5x²+16x=0，∴x₁+x₂=-$\frac{16}{5}$，x₁•x₂=0，
∴弦长|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（\frac{16}{5}）}^{2}-0}$=$\frac{16\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题主要考查椭圆的性质和标准方程的应用，韦达定理及弦长公式，属于中档题．