Question

2．一机器可以按不同的速度运转，其生产物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多少是随机器运转速度而变化，用x表示转速（单位：转/秒），用y表示平均每小时生产的有缺点物件的个数，现观测得到（x，y）的五组观测值为：
（2，2.2）（3，3.8）（4，5.5）（5，6.5）（6，7）
若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归方程
（2）若实际生产中所允许的平均每小时有缺点的物件数不超过10，则机器的速度每秒不得超过多少转？（结果取整数）
有关公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\bar y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\bar x}）}^2}}}}\bar=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}，a=\bar y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程；
（2）利用$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08≤10，可得结论．

解答 解：（1）列表

i	1	2	3	4	5	合计
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42.0	112.3
xi2	4	9	16	25	36	90
$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5；$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=90；$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=112.3

$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，于是$\stackrel{∧}{a}$=5-1.23×4=0.08．
所以线性回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08．…8分
（2）$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08≤10，∴x≤8.065，即每小时有缺点的物件数不超过10时，机器的速度每秒不得超过8转．…12分

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．