Question

如图所示，设抛物线y²=2px，（0＜p＜1）与圆（x-5）²+y²=9在x轴上方的交点为A、B，与圆（x-6）²+y²=27在x轴上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．
（1）求|PQ|；     
（2）求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），将y²=2px代入（x-5）²+y²=9，得x²+（2p-10）x+16=0，由韦达定理、中点坐标公式可表示点P坐标，同理可表示点Q坐标，再由两点间距离公式可求|PQ|．
（2）由三角形S△ABQ=

1

2

|PQ||y₁-y₂|

1

2

|

2px1

-

2px2

|=

2p

2

•

x1+x2-2 x1x2

，代入韦达定理可得p的式子，由基本不等式可求最大值；

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
将y²=2px代入（x-5）²+y²=9，得x²+（2p-10）x+16=0，
故x₁，x₂为x²+（2p-10）x+16=0的根，
则x3=

x1+x2

2

=5-p，
y3=

y1+y2

2

=

2p ( x1 + x2 )

2

=

2p • x1+x2+2 x1x2

2

=

9p-p2

，
类似地，设Cx₄，y₄），D（x₅，y₅），Q（x₆，y₆），
联立y²=2px，（x-6）²+y²=27得x²+（2p-12）x+9=0，
解得x₆=6-p，y6=

9p-p2

，
|PQ|=

(x3-x6)2+(y3-y6)2

=1．
（2）由三角形S△ABQ=

1

2

|PQ||y₁-y₂|
=

1

2

|

2px1

-

2px2

|=

2p

2

•

x1+x2-2 x1x2

=

2p

2

•

2-2p

=

p(1-p)

≤

p+1-p

2

=

1

2

，当且仅当p=

1

2

时取等号，
∴△ABQ面积的最大值是

1

2

．

点评：该题考查抛物线的方程性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力及运算求解能力．