Question

已知数列{a_n}中，an=

2n-1(n为正奇数) 2n-1(n为正偶数)

，则前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件知a_2k-1=2^2k-2=4^k-1，a_2k=2（2k）-1=4k-1，由此利用分类讨论思想能求出结果．

解答： 解：∵数列{a_n}中，an=

2n-1(n为正奇数) 2n-1(n为正偶数)

，
∴a_2k-1=2^2k-2=4^k-1，
a_2k=2（2k）-1=4k-1，
∴S_2k=a₁+a₃+…+a_2k-1+a₂+a₄+…+a_2k
=4⁰+4+…+4^k-1+4（1+2+…+k）-k
=

1-4k

1-4

+4×

k(k+1)

2

-k
=

4k-1

3

+2k2+k．
S_2k-1=a₁+a₃+…+a_2k-1+a₂+a₄+…+a_2k-2
=4⁰+4+…+4^k-1+4[1+2+…+（k-1）]-（k-1）
=

1-4k

1-4

+4×

k(k-1)

2

-k+1
=

4k-1

3

+2k2-3k+1．
∴Sn=

2n-1 3 + n 2 (n+1)，n为偶数 2n+1-1 3 + n+1 2 (n-2)+1，n为奇数

．
故答案为：

2n-1 3 + n 2 (n+1)，n为偶数 2n+1-1 3 + n+1 2 (n-2)+1，n为奇数

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，是一道比较难的题．