Question

设f（x）=

x

a(x+2)

，x=f（x）有唯一解，f（x₀）=

1

1002

，f（x_n-1）=x_n，n=1，2，…，
（1）问数列{

1

xn

}是否是等差数列？
（2）求x₂₀₀₃的值．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的定义进行递推判断即可．
（2）求出数列的通项公式即可得到结论．

解答： （1）由x=

x

a(x+2)

⇒x=0或x=

1

a

-2，
∴由题知

1

a

-2=0，a=

1

2

.f(x)=

2x

x+2

，
∴xn=f(xn-1)=

2xn-1

xn-1+2

⇒

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

又∵x1=f(x0)=

1

1002

，所以

1

x1

=1002．
∴数列{

1

xn

}是首项为1002，公差等于

1

2

的等差数列．
（2）由（1）知

1

x2003

=

1

x1

+(2003-1)•

1

2

=2003，
∴x2003=

1

2003

点评：本题主要考查等差数列的判断和性质的应用，要求熟练掌握等差数列的通项公式．