题目内容
已知函数f（x）=2
sin（ωx+
）（ω＞0，x∈R）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）图象的对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=3，且BC=
，求△ABC面积的最大值．
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求ω的值及f（x）图象的对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=3，且BC=
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：计算题
分析：（Ⅰ）根据题意求得函数的周期进而求得ω得到函数的解析式，根据三角函数的性质求得图象的对称中心．
（Ⅱ）根据函数的解析式，根据f（A）=3求得A，然后根据余弦定理即基本不等式的知识，求得bc的范围，最后用bc表达出面积，根据bc的范围求得面积的最大值．
（Ⅱ）根据函数的解析式，根据f（A）=3求得A，然后根据余弦定理即基本不等式的知识，求得bc的范围，最后用bc表达出面积，根据bc的范围求得面积的最大值．
解答：
（Ⅰ）解：依题意，f（x）的周期为2π，
则ω=
，
∴f（x）=2
sin（x+
），
令x+
=kπ，得x=kπ-
，
∴f（x）的对称中心为（kπ-
，0）．
（Ⅱ）△ABC中，由f（A）=2
sin（A+
）=3，得sin（A+
）=
，
∵0＜A＜π，∴A=
，
由余弦定理得b2+c2-（
）2=2bccos
，
∴b2+c2=bc+3，
∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），
∴bc+3≥2bc，
∴bc≤3，
∴S△ABC=
bcsinA=
bcsin
=
bc≤
（当且仅当b=c时等号成立），
∴△ABC的面积的最大值为
．
则ω=
| 2π |
| T |
∴f（x）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
令x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的对称中心为（kπ-
| π |
| 3 |
（Ⅱ）△ABC中，由f（A）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵0＜A＜π，∴A=
| π |
| 3 |
由余弦定理得b2+c2-（
| 3 |
| π |
| 3 |
∴b2+c2=bc+3，
∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），
∴bc+3≥2bc，
∴bc≤3，
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
∴△ABC的面积的最大值为
3
| ||
| 4 |
点评：本小题主要考查三角函数的图象及性质、解三角形、重要不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法．
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