Question

8．在等差数列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈═a₉=-36．求T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式可得a_n=3n-63，数列{a_n}的前n项和S_n．令a_n≥0，解得n≥21．n≤21时，T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|=-S_n．n≥22时，T_n=-S₂₁+（a₂₂+…+a_n）=-2S₂₁+S_n，即可得出．

解答 解：∵a₁₆+a₁₇+a₁₈═-36，∴3a₁₇=-36，∴a₁₇=-12，
∴a₁+16d=-12，又a₁+8d=-36．
联立解得a₁=-60，d=3．
∴a_n=-60+3（n-1）=3n-63．
则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（-60+3n-63）}{2}$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{123}{2}$n．
令a_n≥0，解得n≥21．
∴n≤21时，T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n=-$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{123}{2}$n．
n≥22时，T_n=-S₂₁+（a₂₂+…+a_n）=-2S₂₁+S_n
=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{123}{2}$n-2$（\frac{3}{2}×2{1}^{2}-\frac{123}{2}×21）$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{123}{2}$n+1260．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{123}{2}n，n≤21}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{123}{2}n+1260，n≥22}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．