Question

13．双曲线的两条渐近线为x±2y=0，则它的离心率为$\sqrt{5}或\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由双曲线的渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x，则当焦点在x轴上时，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，当焦点在y轴上时，即$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{b}{a}$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，
则c²=a²+b²，e=$\frac{c}{a}$，
∵双曲线的渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x，
∴当焦点在x轴上时，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
当焦点在y轴上时，即$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{b}{a}$=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的意义以及双曲线离心率的求法，考查分类讨论思想，属于中档题