Question

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$A（{1，\frac{3}{2}}）$，C的四个顶点构成的四边形面积为$4\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上是否存在相异两点E，F，使其满足：①直线AE与直线AF的斜率互为相反数；②线段EF的中点在y轴上．若存在，求出∠EAF的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意分别设出AE、AF所在直线方程，与椭圆方程联立求得E，F的横坐标，再由两点的中点在y轴上列式求得斜率，可得满足条件的E，F存在，进一步求出∠EAF的平分线方程，与椭圆联立求得弦长．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\ ab=2\sqrt{3}\\ a＞b＞0\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设直线AE的方程为$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4k²-12k-3=0．①
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），且x=1是方程①的根，
∴${x_1}=\frac{{4{k^2}-12k-3}}{{3+4{k^2}}}$，
用-k代替上式中的k，可得${x_2}=\frac{{4{k^2}+12k-3}}{{3+4{k^2}}}$，
∵E，F的中点在y轴上，∴x₁+x₂=0，
∴$\frac{{4{k^2}-12k-3}}{{3+4{k^2}}}+\frac{{4{k^2}+12k-3}}{{3+4{k^2}}}=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
因此满足条件的点E，F存在．
由平面几何知识可知∠EAF的角平分线方程为x=1．
把x=1代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得y=$±\frac{3}{2}$，
∴所求弦长为3．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．