Question

12．设$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}+x$为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数满足f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立得到关于实数a的恒等式，据此求得实数a的值即可；
（2）结合（1）中函数的解析式结合函数的单调性的定义即可确定函数的单调性．

解答 解：（1）∵$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}+x$为奇函数，∴f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立，
∴${log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+ax}{-x-1}-x+{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}+x=0$，∴$\frac{1+ax}{-x-1}•\frac{1-ax}{x-1}=1$，解得a=-1或a=1（舍去）
（2）由（1）知：∵$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}+x$，设x₁，x₂∈（1，+∞），
设x₁＜x₂，则$\frac{{1+{x_1}}}{{{x_1}-1}}-\frac{{1+{x_2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}＞0$，
∴${log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_1}}}{{{x_1}-1}}＜{log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_2}}}{{{x_2}-1}}$，
∴${log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_1}}}{{{x_1}-1}}+{x_1}＜{log_{\frac{1}{2}}}\frac{{1+{x_2}}}{{{x_2}-1}}+{x_2}$，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在x∈（1，+∞）上是增函数

点评 本题考查奇函数的性质，函数单调性的定义及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．