Question

5．已知函数f（x）=2^x，$g（x）=\frac{1}{{{2^{|x|}}}}+2$．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）求满足方程f（x）-g（x）=0的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用指数式的简单性质，求解函数的值域即可．
（2）化简方程，转化为二次方程的形式，转化求解即可．

解答 解　（1）g（x）=$\frac{1}{2|x|}$+2=${（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}$+2，因为|x|≥0，所以0＜${（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}$≤1，
即2＜g（x）≤3，故g（x）的值域是（2，3]．
（2）由f（x）-g（x）=0，得2^x-$\frac{1}{2|x|}$-2=0，
当x≤0时，显然不满足方程，当x＞0时，由2^x-$\frac{1}{2x}$-2=0，
整理得（2^x）²-2•2^x-1=0，（2^x-1）²=2，故2^x=1±$\sqrt{2}$，因为2^x＞0，
所以2^x=1+$\sqrt{2}$，即x=log₂（1+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查函数的最值以及函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．