Question

【题目】如图所示，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1， ，sin∠BCD＝.

(1)求BC边的长；

(2)求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】 试题分析：（1）先根据向量数量积求∠BAC,再根据余弦定理求BC边的长；（2）四边形ABCD的面积等于两个三角形面积之和,而△ABC为直角三角形，可得其面积;根据∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD,所以先由sin∠BCD＝求sin∠ACD,再根据三角形面积公式求S△ACD,最后相加得四边形ABCD的面积

试题解析：(1)∵AC＝CD＝AB＝1，∴＝2cos∠BAC＝1.

∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.

在△ABC中，由余弦定理，有

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝ .

(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2.∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.

∴S△ABC＝BC·AC＝

又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝.

从而sin∠ACD＝.

∴S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×1×1×＝.

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝.