Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若双曲线C上存在点M，满足

1

2

|MF₁|=|MO|=|MF₂|，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知可得2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，进而在△F₁OM中，F₁O=c，F₁M=4a，OM=2a，在△F₁F₂M中，F₁F₂=2c，F₁M=4a，F₂M=2a，结合余弦定理，可得答案．

解答： 解：∵

1

2

|MF₁|=|MO|=|MF₂|，
故2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，
在△F₁OM中，F₁O=c，F₁M=4a，OM=2a，
则cos∠MF₁O=

16a2+c2-4a2

2•4a•c

，
在△F₁F₂M中，F₁F₂=2c，F₁M=4a，F₂M=2a，
则cos∠MF₁O=

16a2+4c2-4a2

2•4a•2c

，
由∠MF₁O=∠MF₁O得：

16a2+c2-4a2

2•4a•c

=

16a2+4c2-4a2

2•4a•2c

整理得：c²=6a²
即

c2

a2

=e2=6
故e=

6

，
故答案为：

6

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，构造关于a，c的方程是解答的关键，难度中档．