Question

16．已知△ABC外接圆O的半径为$\frac{3}{2}$，P为圆O上一点，且|$\overrightarrow{BC}$|=1，则$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{BP}$的最大值是2．

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点D，分别以BC、OD所在直线建立直角坐标系，则B$（-\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{1}{2}，0）$．可得OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$，令P（x，y），$（-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}）$．则$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{BP}$═x$+\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
取BC的中点D，分别以BC、OD所在直线建立直角坐标系，
则B$（-\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{1}{2}，0）$．
OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
则⊙O的标准方程为：${x}^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}=\frac{9}{4}$，
令P（x，y），$（-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}）$．
则$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{BP}$=（1，0）•$（x+\frac{1}{2}，y）$=x$+\frac{1}{2}$≤2，当x=$\frac{3}{2}$时，取等号．
故答案为：2．

点评 本题考查了圆的性质、垂经定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．