Question

5．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）≠0，当x＞0时，f（x）＞1．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）若f（x-2）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=y=0，即可求解，
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，结合当当x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
（3）利用函数的单调性以及抽象函数的关系进行求解即可．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）f（0）=f（0），
∵f（x）≠0，
∴f（0）=1．
（2）∵当x＞0时，f（x）＞1
∴设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
（3）∵f（0）=1，
∴f（x-2）•f（2x-x²）＞1等价为f（x-2）•f（2x-x²）＞f（0），
即f（x-2+2x-x²）＞f（0），
∵函数f（x）在R上是单调递增函数．
∴x-2+2x-x²＞0，
即x²-3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
即不等式的解集为（1，2）．

点评 本题考查的是函数的单调性证明问题．抽象函数的单调性的判定，以及赋值法的应用，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、转化法以及赋值法等知识．考查学生的运算和推理能力，综合性较强．