Question

如图所示：一块椭圆形状的铁板的长轴长为4米，短轴长为2米．

（1）若利用这块椭圆铁板截取矩形，要求矩形的

 四个顶点都在椭圆铁板的边缘，求所能截取

的矩形面积的最大值；

（2）若以短轴的端点为直角顶点，另外两个锐

角的顶点、都在椭圆铁板的边缘，切割

等腰直角三角形，则在不同的切割方案中，

共能切割出几个面积不同的等腰直角三角形？

最大面积是多少？（结果保留一位小数）

Answer 1

解：（1）建系（略），得椭圆的标准方程为-设矩形的一个顶点坐标为   

-当且仅当，即时等号成立．

（2）设所在的直线方程为：，则所在的直线方程为：---2分

将所在的直线方程代入椭圆方程，得

可求得，   

同理可求得，

不妨设，令，得，

即，

解得，或．        

当时，所截取等腰直角三角形面积为2.6平方米；

当时，所截取等腰直角三角形面积为2.1平方米．

所以，切割出的等腰直角三角形的最大面积约2.6平方米．