Question

8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC|}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BD=4，CD=6．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求边AC、AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据向量夹角的余弦公式即可得到cos$∠BAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而便得出$∠BAC=\frac{π}{4}$；
（2）可设AD=x，从而可表示出$AB=\sqrt{{x}^{2}+16}，AC=\sqrt{{x}^{2}+36}$，而又知道cos$∠BAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=10，从而可根据余弦定理建立关于x的方程，解方程便可得出x值，从而便可得出AC，AB的长．

解答 解：（1）$cos∠BAC=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$∠BAC=\frac{π}{4}$；
（2）设AD=x，则$AB=\sqrt{16+{x}^{2}}，AC=\sqrt{36+{x}^{2}}$，cos$∠BAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=10；
∴在△ABC中，由余弦定理得：AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=BC²；
即$16+{x}^{2}+36+{x}^{2}-\sqrt{2}•\sqrt{16+{x}^{2}}•\sqrt{36+{x}^{2}}=100$；
整理得：$2（{x}^{2}-24）=\sqrt{2}•\sqrt{16+{x}^{2}}•\sqrt{36+{x}^{2}}$，两边平方并整理得：
x⁴-148x²+4•144=0；
解得x²=144，或x²=4；
∵x²＞24；
∴x²=144；
∴$AB=\sqrt{16+144}=40$，；
∴$AB=\sqrt{16+144}=4\sqrt{10}，AC=\sqrt{36+144}=6\sqrt{5}$；
即边AC，AB的长分别为$6\sqrt{5}，4\sqrt{10}$．

点评 考查向量夹角的余弦公式，已知三角函数值求角，以及直角三角形边的关系，余弦定理，解一元二次方程．