Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+4，x≤7}\\{{a}^{x-6}，x＞7}\end{array}\right.$；
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）的值域为（0，+∞），
（2）若f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}，1$）．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$时，得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+4}&{x≤7}\\{（\frac{1}{2}）^{x-6}}&{x＞7}\end{array}\right.$，根据f（x）在（-∞，7]，和（7，+∞）上的单调性即可得出f（x）在每段上的范围，求并集即可得出该函数的值域；
（2）根据一次函数、指数函数的单调性及减函数的定义即可得到$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（a-1）•7+4≥{a}^{7-6}}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+4}&{x≤7}\\{（\frac{1}{2}）^{x-6}}&{x＞7}\end{array}\right.$；
①x≤7时，f（x）=$-\frac{1}{2}x+4≥\frac{1}{2}$；
②x＞7时，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x-6}$；
x-6＞1；
∴$0＜（\frac{1}{2}）^{x-6}＜\frac{1}{2}$；
即$0＜f（x）＜\frac{1}{2}$；
∴f（x）的值域为（0，+∞）；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（a-1）•7+4≥{a}^{7-6}}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{2}≤a＜1$；
∴实数a的取值范围为$[\frac{1}{2}，1）$．
故答案为：（1）（0，+∞），（2）[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 考查一次函数、指数函数的单调性，根据函数单调性求值域，减函数的定义，以及分段函数的单调性的判断．