Question

19．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=$\frac{a+b}{1+ab}$．
（1）求证：a*b=S；
（2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

Answer 1

分析 （1）运用作差比较法可得$\frac{a+b}{1+ab}$∈（-1，1），从而可证a*b=S；
（2）直接运用新定义，两边同时化简，即可证明等式．

解答 证明：（1）因为a，b∈S，所以，a，b∈（-1，1），
即a²∈（0，1），b²∈（0，1），再作差比较如下，
记△=1-$\frac{（a+b）^2}{（1+ab）^2}$=$\frac{（1+ab）^2-（a+b）^2}{（1+ab）^2}$
=$\frac{（1-a^2）（1-b^2）}{（1+ab）^2}$＞0恒成立，
所以，$\frac{（a+b）^2}{（1+ab）^2}$＜1，即$\frac{a+b}{1+ab}$∈（-1，1），
所以，a*b∈S；
（2）左边=（a*b）*c=$\frac{a+b}{1+ab}$*c=$\frac{\frac{a+b}{1+ab}+c}{1+\frac{a+b}{1+ab}•c}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$，
右边=a*（b*c）=a*$\frac{b+c}{1+bc}$=$\frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a•\frac{b+c}{1+bc}}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$，
所以，左边=右边．
即（a*b）*c=a*（b*c）．

点评 本题主要考查了运用作差法证明不等式，以及运用新定义运算证明等式，属于中档题．