Question

7．已知正三棱锥V-ABC中，底面边长为8，侧棱长为2$\sqrt{6}$，计算它的高和斜高．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，找出三棱锥的高与斜高，利用三角形的边角关系求出它们的值．

解答 解：正三棱锥V-ABC中，底面边长AB=8，侧棱长VB=2$\sqrt{6}$，
设O是正△ABC的中心，则VO为棱锥的高，
连接AO并延长，交BC于点D，连接VD，则VD是棱锥的斜高，
如图所示；
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$VB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$，
AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×4$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$；
∴棱锥的高为
VO=$\sqrt{{VA}^{2}{-AO}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-（\frac{8}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
棱锥的斜高为
VD=$\sqrt{{VB}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征以及线面间的距离与位置关系的应用问题，是基础题目．