Question

17．函数y=x+1，y=x²，y=$\frac{1}{x}$，y=x|x|中，既是奇函数又是增函数的是y=x|x|．

Answer 1

分析 选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的符合条件，要从两个方面进行判断．这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解．

解答 解：设函数y=f（x），
f（x）=x+1），∵f（-x）≠±f（x），∴函数y=x+1为非奇非偶函数，不符合题意；
f（x）=x²，∵f（-x）=f（x），∴函数y=x²是偶函数，不符合题意
f（x）=$\frac{1}{x}$，∵f（-x）=f（x），∴函数y=$\frac{1}{x}$是奇函数，在（-∞，0），（0，+∞）是增函数
f（x）=x|x|，定义域为R，f（-x）=-x|-x|=-f（x），为奇函数，当x＞0时，f（x）=x²递增，当x＜0时，f（x）=-x²递增，且f（0）=0，则f（x）在R上递增，故满足条件
故答案为：y=x|x|．

点评 本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法．