Question

18．已知函数f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}$）-cos²x，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求y=f（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求出x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]f（x）的值域，再求f（x）的最大、最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}$）-cos²x
=$\frac{1+cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），x∈R；
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]时，2x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]；
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]；
∴y=f（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}}]$上的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]；
且x=$\frac{π}{4}$时f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
令2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，得x=-$\frac{π}{6}$，此时f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是中档题．