Question

10．已知y=Acos（ωx+φ）的图象过点P（$\frac{π}{12}，0$），图象上与点P最近的一个顶点是Q（$\frac{π}{3}，3$）
（1）求函数的解析式；    
（2）求函数的单调减区间；   
（3）求使y≥0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用题意在求出A，通过周期求出ω，利用函数经过的特殊点求出φ，即可求函数的解析式；
（2）通过余弦函数的单调增区间直接求函数的单调递减区间；
（3）利用余弦函数的值域，求使y≥0的x的取值范围．

解答 解：（1）由函数图象过一个顶点是（$\frac{π}{3}，3$）知A=3．
图象过点P（$\frac{π}{12}，0$）图象上与点P最近的一个顶点是Q（$\frac{π}{3}，3$）．
所以 $\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=π，ω=2．
将Q（$\frac{π}{3}$，3）代入y=3cos（2x+φ），由余弦函数的图象和性质可得：2×$\frac{π}{3}$+φ=2π，
得φ=$\frac{4π}{3}$．
∴函数解析式为y=3cos（2x+$\frac{4π}{3}$）．（4分）
（2）由2kπ≤2x+$\frac{4π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$． 
 函数的单调减区间：[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{5π}{12}$]．k∈Z．（8分）
（3）因为y≥0，
所以3cos（2x+$\frac{4π}{3}$）≥0，
可得 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{4π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：x∈[kπ-$\frac{11π}{12}$，kπ-$\frac{5π}{12}$]．k∈Z．（12分）

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的基本性质的应用，考查计算能力，考查了数形结合思想，属于中档题．